Error analysis and model adaptivity for flows in gas networks

In the simulation and optimization of natural gas flow in a pipeline network, a hierarchy of models is used that employs different formulations of the Euler equations. While the optimization is performed on piecewise linear models, the flow simulation is based on the one to three dimensional Euler equations including the temperature distributions. To decide which model class in the hierarchy is adequate to achieve a desired accuracy, this paper presents an error and perturbation analysis for a two level model hierarchy including the isothermal Euler equations in semilinear form and the stationary Euler equations in purely algebraic form. The focus of the work is on the effect of data uncertainty, discretization, and rounding errors in the numerical simulation of these models and their interaction. Two simple discretization schemes for the semilinear model are compared with respect to their conditioning and temporal stepsizes are determined for which a well-conditioned problem is obtained. The results are based on new componentwise relative condition numbers for the solution of nonlinear systems of equations. More- over, the model error between the semilinear and the algebraic model is computed, the maximum pipeline length is determined for which the algebraic model can be used safely, and a condition is derived for which the isothermal model is adequate.DFG, TRR 154, Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung am Beispiel von Gasnetzwerke

Fehleranalyse und adaptive Steuerung für den Gasfluss in Netzen

In this thesis, uniform estimators are derived for the different errors that a numerical solution could contain, namely modeling, discretization, iteration, data uncertainty, and rounding errors. Subsequently, the errors are adaptively controlled on a network in order to bring the total error below a prescribed tolerance while keeping the computational cost low. As example problems, the simulation and optimization of gas flow through pipeline networks are considered. The gas flow is modeled by the Euler equations of fluid dynamics, which are a system of hyperbolic partial differential equations. This system is complemented by suitable initial, boundary, and coupling conditions and discretized using different schemes, e.g., the implicit box scheme, which is an effective discretization method for transient gas flow models. Due to the high computational complexity of this system of partial differential equations, simplifications are often made using appropriate assumptions, resulting in a model hierarchy. Purely algebraic models may be used in parts of the network with low gas dynamics, whereas more involved models should be used, e.g., right after a compressor. In this thesis, an error and sensitivity analysis for many models in this hierarchy is performed. Since the modeling and discretization errors have already been extensively studied in the literature, the first focus lies on the rounding and data uncertainty errors. These errors are computed via a backward error analysis for the obtained nonlinear systems of equations. For this, a novel componentwise condition number is introduced and the advantage over the classical normwise condition number is demonstrated. The developed sensitivity analysis is applied, inter alia, on an exemplary Y-shaped gas network, where the effect of changing boundary conditions on the network state is investigated. In order to find a convenient trade-off between accuracy and computational complexity, the different errors on every pipe are adaptively controlled. For this, new Greedy-like spatial/temporal/model refinement strategies are developed, which have a network overview and take the behavior of the gas better into account than the strategy that is currently implemented in the gas flow simulation software ANACONDA. Both a synthetic and a realistic experiment show that the new strategies significantly reduce the computational cost as compared to the current refinement strategy while maintaining the same error tolerance. Moreover, it is shown that adaptive error control (using bulk criteria, which are frequently employed in the adaptive finite element method) can also be applied within an optimization algorithm, which again results in a reduction of the computational cost. It is proven that, also when one allows for coarsenings, an epsilon-feasible solution is obtained after a finite number of iterations. Note that the developed error estimators and adaptive error control techniques are not limited to gas networks, but can also be applied to, e.g., water, electricity, or traffic networks.In dieser Arbeit werden einheitliche Schätzer für die verschiedenen Fehler, welche eine numerische Lösung enthalten könnte, nämlich Modellierungs-, Diskretisierungs-, Iterations-, Datenunsicherheits- und Rundungsfehler, hergeleitet. Anschließend werden die Fehler auf einem Netzwerk adaptiv gesteuert, um den Gesamtfehler unter eine vorgegebene Toleranz zu bringen, während der Rechenaufwand niedrig gehalten wird. Als Beispielprobleme werden die Simulation und Optimierung von Gasflüssen durch Rohrnetzwerke betrachtet. Der Gasfluss wird durch die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik, welche ein System von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen sind, modelliert. Dieses System wird durch geeignete Anfangs-, Rand- und Kopplungsbedingungen ergänzt und unter Verwendung verschiedener Diskretisierungsverfahren für transiente Gasströmungen, z. B. des sehr effizienten impliziten Box-Schemas, diskretisiert. Aufgrund der hohen Rechenkomplexität zur Simulation oder Optimierung dieses Systems partieller Differentialgleichungen werden oft Vereinfachungen unter Verwendung geeigneter Annahmen vorgenommen, was zu einer Modellhierarchie führt. Rein algebraische Modelle können in Teilen des Netzes mit geringer Gasdynamik verwendet werden, während komplexere Modelle z. B. unmittelbar nach einem Kompressor verwendet werden sollten. In dieser Arbeit wird eine Fehler- und Sensitivitätsanalyse für viele Modelle in dieser Hierarchie durchgeführt. Da die Modellierungs- und Diskretisierungsfehler in der Literatur bereits umfassend untersucht wurden, liegt der erste Fokus auf den Rundungs- und Datenunsicherheitsfehlern. Diese Fehler werden über eine Rückwärtsfehleranalyse für die gewonnenen nichtlinearen Gleichungssysteme berechnet. Dazu wird eine neue komponentenweise Konditionszahl eingeführt und deren Vorteil gegenüber der klassischen normweise Konditionszahl demonstriert. Die entwickelte Sensitivitätsanalyse wird u. a. auf ein exemplarisches Y-förmiges Gasnetzwerk angewendet, in dem der Einfluss veränderter Randbedingungen auf den Netzwerkzustand untersucht wird. Um einen geeigneten Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenkomplexität zu finden, werden die verschiedenen Fehler auf jedem Rohr adaptiv gesteuert. Dazu werden neue Greedy-ähnliche Raum/Zeit/Modell-Verfeinerungsstrategien entwickelt, welche einen Netzwerkübersicht haben und das Verhalten des Gases besser berücksichtigen als die Strategie, die derzeit in der Gasfluss-Simulationssoftware ANACONDA implementiert ist. Sowohl ein synthetisches als auch ein realistisches Experiment zeigen, dass die neuen Strategien den Rechenaufwand im Vergleich zur aktuellen Verfeinerungsstrategie bei gleicher Fehlertoleranz signifikant reduzieren. Darüber hinaus wird gezeigt, dass eine adaptive Fehlersteuerung (unter Verwendung von Bulk-Kriterien, die häufig in der adaptiven Finite-Elemente-Methode verwendet werden) auch innerhalb eines Optimierungsalgorithmus angewendet werden kann, was wiederum zu einer Verringerung des Rechenaufwands führt. Es wird bewiesen dass, auch wenn man Vergröberungen zulässt, nach einer endlichen Anzahl von Iterationen eine epsilon-zulässige Lösung gefunden wird. Man beachte, dass die entwickelten Fehlerschätzer und adaptiven Fehlersteuerungstechniken nicht auf Gasnetze beschränkt sind, sondern beispielsweise auch auf Wasser-, Strom- oder Verkehrsnetze angewendet werden können.DFG, TRR 154, Mathematische Modellierung, Simulation und Optimierung am Beispiel von Gasnetzwerke